AGRUPACIÓN (Serie y Paralela)

“Un conjunto es Varios Varios que pueden considerarse Uno” (Cantor)

“Un conjunto es una consideración simultanea de entes” (Bertrand Russell)

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Agrupación Serie (Secuencia)
Semántica y Sintaxis

La agrupación serie (también llamada “secuencia”) de las expresiones x1, x2, … , xn es una nueva expresión de orden superior en la que sus componentes se disponen en orden secuencial y que se evalúan en serie.

Existen dos tipos de secuencias:

1. Normales. La sintaxis es:
   (x1 x2 … xn)
   
   
2. Holgadas. La sintaxis es:
   ( x1 x2 … xn )

La serie de expresiones se delimita por paréntesis curvos, pero en el caso de las secuencias holgadas hay un espacio en blanco adicional en cada extremo.

Ambos tipos de secuencias son equivalentes, excepto cuando la secuencia se compone de un solo componente que es, a su vez una secuencia. Por ejemplo, la secuencia 123, que representa a la secuencia normal de tres componentes (1 2 3), no es lo mismo que la secuencia holgada ( 123 ), que tiene un solo componente, que es 123.


Justificación

La agrupación, en general, es un mecanismo básico de la conciencia que nos permite sintetizar, es decir, considerar una colección de elementos individuales como una unidad, tanto a nivel espacial como temporal.

• A nivel espacial, se considera que los componentes de una secuencia ocupan posiciones consecutivas (secuencia espacial) en el espacio abstracto.
  
  
• A nivel temporal, los componentes se evalúan en secuencia, uno tras otro (secuencia temporal).

Ejemplos

1. (123 xy a+b)
   
   
2. (a (b c) d)
   
   
3. (a a a b b c)
   
   
4. x+2+3 // equivale a la secuencia (x + 2 + 3) ev. x+5
   
   
5. (x = 1)
(x x+1 x+2 x+3) // ev. 1234
   
   
6. ((x = 3) (y = 5) x+y x*y) // ev. (x=3 y=5 8 15)
   
   
7. (⟨(f(x) = x+7)⟩ f(3)) // ev. (⟨(f(x) = x+7)⟩ 10)
   (secuencia de dos elementos, siendo el primero la definición de una función)
   
   
8. (a α b)
   (secuencia formada por a, una expresión y b)
   
   
9. (Ω a)
   (secuencia formada por Ω (que representa a todas las expresiones) y a

Observaciones

• A una secuencia se le denomina también “expresión serie”.
  
  
• Una secuencia puede contener expresiones de cualquier tipo, incluso otras secuencias.
  
  
• La secuencia vacía es (). La secuencia ( ) (secuencia con uno o más blancos) es igual a la secuencia vacía: ( ( ) = () ).
  
  
• Una secuencia puede contener componentes iguales.
  
  
• En una secuencia el orden de los componentes es importante, por lo que, por ejemplo, ab y ba no son equivalentes.
  
  
• Varios pares de paréntesis consecutivos se sustituyen, al evaluarse, por uno solo. Por ejemplo,
  
  (((a b))) // ev. (a b) ev. ab

(a (((b c))) d) // ev. (a (b c) d) ev. a(bc)d

Secuencia con componentes atómicos

Si los componentes de una expresión serie son atómicos, se pueden especificar juntos, ahorrándose de esta forma los paréntesis. Ejemplos:

(1 2 3 4) se puede escribir 1234

(a b c) se puede escribir abc

(a+b+c) se puede escribir a+b+c

(a (b c) d) se puede escribir a(b c)d  o  a(bc)d  o  (a bc d)

De hecho, estas expresiones se evalúan hacia su forma más simple y compacta, eliminando blancos intermedios. Ejemplos:

1. (1 2 3 4) // ev. 1234
   
   
2. (a + b + c) // ev. a+b+c
(a (b c) d) // ev. (a bc d)

Secuencia de un solo componente

Como hemos dicho en la definición de secuencia, puede ocurrir que una secuencia tenga un solo componente y ese componente sea, a su vez, una secuencia. Para “ forzar” la existencia de la secuencia principal o superior (de longitud 1), entonces hay que insertar blancos separadores en los extremos. Ejemplos:

(a) // ev. a

(123) // ev. 123 eq. (1 2 3)

( 123 ) // eq. ( (1 2 3) ) (secuencia de un componente)

( 123 )# // ev. 1 (secuencia de longitud 1)

123# // ev. 3 (secuencia de longitud 3)


Nombres

Un nombre es una secuencia de letras (mayúsculas o minúsculas) o dígitos, pero que empieza siempre por letra. Por ejemplo,

a31 Pepe k

Pseudosecuencias

Son secuencias en las que no están definidos todos los componentes, es decir, hay componentes nulos. Ejemplo:

(x/40 = a) // el componente 40 de x es a

(x/768 = b) // el componente 768 de x es b

x es una pseudosecuencia, pues no están definidos sus componentes 1 a 39 y 41 a 767.


Texto

Es una secuencia de caracteres (letras, dígitos, símbolos o caracteres especiales, incluido el blanco) delimitados por dobles comillas. Los caracteres componentes no se evalúan nunca por separado, constituyendo el texto una unidad. Si se quiere incluir el carácter “doble comilla”, hay que especificarla por duplicado.

Ejemplos:

"abc" // se autoevalúa
"a+b*c" // se autoevalúa
"ab""cd" // eq. ab"cd


Axiomas

1. ⟨((x θ) = x)⟩ // Por la definición de expresión nula
   
   
2. ⟨((θ x) = x)⟩ // id.
   
   
3. ( (θ) = () ) // secuencia vacía
   
   
4. ⟨( (( x ) = x) ← ( x# = 1) )⟩ // secuencia de un componente atómico

Agrupación Paralela (Conjunto)
Semántica

La agrupación paralela (también llamada “conjunto”) de las expresiones x1, x2, … , xn es una nueva expresión de orden superior en la que sus componentes se evalúan en paralelo, de tal forma que si hubiera componentes iguales, se eliminan los repetidos.


Sintaxis

{x1 x2 … xn}

La serie de expresiones se delimita por llaves.


Justificación

Conjunto es el concepto dual de secuencia:

• A nivel espacial, se considera que los componentes de un conjunto ocupan un mismo lugar (concurrencia espacial) en el espacio abstracto.
  
  
• A nivel temporal, los componentes de un conjunto se evalúan simultáneamente (concurrencia temporal).

Ejemplos

1. {a b c d}
   
   
2. {a a b} // ev. {a b}
   
   
3. {ab ab ab} // ev. {ab}
   
   
4. {123 xy a+b}
   
   
5. {123 {xy a+b} abc}
   
   
6. {2*a a=b ccc}
   
   
7. {a/b a+b 123.5 xxx}
   
   
8. {a b b c c c} // ev. {a b c}
   
   
9. (x = 1) (y = 1)
{x y} // ev. {1}
   
   
10. (y = 4)
{(x = 3) x*y} // ev. {x=3 x*4}
    
    
11. {a α b}
    (conjunto formado por a, una expresión no definida y b)

Observaciones

• A un conjunto se le denomina también “expresión paralela”.
  
  
• Un conjunto puede contener expresiones de cualquier tipo, incluso otros conjuntos.
  
  
• El conjunto vacío es {}, que también se simboliza por ∅.
  
  
• En un conjunto, el orden de los componentes es indiferente, por lo que las expresiones siguientes son equivalentes:
  
  {a b c} {a c b} {b a c} {b c a} {c a b} {c b a}
  
  
• La expresión {a b c} no se puede escribir {abc}, pues se interpretaría {(a b c)}, es decir, como un conjunto formado por la secuencia abc.
  
  
• No existen, como en las secuencias, conjuntos holgados, pues por ejemplo las expresiones {123} y { 123 } son idénticas: especifican un conjunto de un solo componente, que es la secuencia 123.
  
  { 123 } // ev. {123} (se eliminan los blancos)
  
  
• Varias llaves consecutivas no equivalen, a diferencia de los paréntesis curvos, a una sola. Por ejemplo,
  
  {{{a b}}} // no equivale a {a b}
(a {{{b c}}} d) // no equivale a (a {b c} d)

Axiomas

1. ⟨({x x} = {x})⟩ // por la definición de conjunto
   
   
2. ⟨({x y} ≡ {y x})⟩ // id.
   
   
3. ⟨({x θ} = {x})⟩ // por la definición de expresión nula
   
   
4. ⟨({x Ω} = {Ω})⟩ // por la definición de expresión universal
   
   
5. ( {θ} = {} ) // conjunto vacío
   
   
6. (∅ =: {} ) // ∅ es el nombre del conjunto vacío